计算技巧

百化分或者分化百

将百分数化为分数或者将分数化为百分数进行计算，怎样计算方便怎么来。

请注意，百分数和分数是可以互转的，比如1/17=5.88%，反过来就是17%=1/5.88

百分数和分数互相转化图表：

分数	百分数
1/2	50%
1/3	33.33%
1/4	25%
1/5	20%
1/6	16.67%
1/7	14.29%
1/8	12.5%
1/9	11.11
1/10	10%
1/11	9.09%
1/12	8.33%
1/13	7.69%
1/14	7.14%
1/15	6.67
1/16	6.25
1/17	5.88
1/18	5.56
1/19	5.26
1/20	5%

百化分怎么化呢？

针对可以将百分数化为分数的情况，n是

$$\mathrm{增}\mathrm{长}\mathrm{量}=A\ast (\frac{r}{1+r})=\frac{A}{n+1}$$

那么基期也就呼之欲出了

$$\mathrm{基}\mathrm{期}=A\frac{n}{1+n}$$

放缩

等比放缩

高中时候学过一个定理 若 $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}=x$ 那么 $\frac{A+C}{B+D}=\frac{A}{B}=\frac{C}{D}=x$

原理很简单，把两个或者多个分数的分子或者分母变成一样的，就容易比较大小了，但是一个数据中分子和分母的值需要同时改变，他们值的变化是按照比例进行改变的。

定量修正法

比如知道了现期和增长率，想求基期，那么可以假设一个容易计算的基期，将增长率带入计算过后得到一个假设的现期，在将这个假设的现期与真实的现期进行减法得到的误差加上之前假设的基期，得到的就是估算的近似的基期。

怎么推导的呢？

比如现期是12.8，增长率是9.4%，求基期。

假设基期是10，可以得到式子：

$$(10+a)\ast (1+9.4$$$$10.94\ast 1.094a=12.8$$$$1.094a=12.8-10.94=1.86$$$$a=1.86/1.094$$

可以得到基期呢就大约等于11.86，当然要比11.86要小，因为增长量a是1.86除了一个1.094的。

假设分配法

跟定量修正法的第一步一样的是，假设一个好算的基期，计算假设的增量和假设的基期。与真实的现期做差可以得到待分配现期，可以与增长率再进行计算得到基期，与假设的基期相加就得到了真实的基期，并且还能得到增量。

现期B=460，增长率r=7%，求基期A和增长量X。

假设基期量为A1=400，那么增长量X1=400*7%=28。

剩余待分配现期B1=460-400-28=32。

假设A2=30

增长量X2=30*7%=2

就没有待分配的现期了。32-30-2=0。

所以基期A=400+30=430，增长量X=28+2=30。

多说一嘴 多说一嘴关于假设分配法的思路，比如现期499.5，增长率18.5%。可以假设基期是400或者420都行。 假设是400，那么增长量就是40018.5%=74。 跟现期量还差26。但是此时基本上已经可以得到增长量肯定大于74了，至于26是另外的一个现期，需要根据这个现期再去计算基期和增长量。如果选项中有跟这个数相近且略大的选项，那么可以认为这个选项是正确的。 懒得算了就估计一个20是基期量吧，这时候都不用去计算了，2018.5%也就是一个个位数，加上之前假设增长量74，大概也就是77 78的样子。

退位修正法

师承陈怀安，什么是退位修正法：就是一定范围内的增长率都可以使用一个固定值来表示，运用百化分的方法，将数据替换为更好计算的分数，在得到结果后把误差考虑进去基本上就可以得到差不多的结果了。

列一个表格：

这里的计算方法是比如现期是A，基期是B，增长率为X，那么：

基期=A/(1+X)

1. r=-25%~-20% 基期=A+0.3A r<-23% 基期=A1.3+ r>-23% 基期=A1.3-

   基期=A/(1-23%)=A/77%，已知7.7%≈1/13，所以77%约等于10/13，所以基期=A/(10/13)=A*10/13=1.3A，以下同理。

2. r=-20%~-15% 基期=A+0.2A r<-16.7% 基期=A1.2+ r>-16.7% 基期=A1.2-

3. r=-15%~-5% 基期=A+0.1A r<-9.1% 基期=A1.1+ r>-9.1% 基期=A1.1-

4. r=-5%~5% 基期=A r<0% 基期=A1+ r>0% 基期=A1-

5. r=5%~20% 基期=A-0.1A r<11.1% 基期=A0.9+ r>11.1% 基期=A0.9-

6. r=20%~30% 基期=A-0.2A 增量=0.2A r<25% 基期=A0.8+ 增量=0.2A- r>25% 基期=A0.8- 增量=0.2A+

7. r=30%~40% 基期=A-A/4 r<33.3% 基期=A*(3/4)+ r>33.3% 基期=A*(3/4)-

8. r=40%~50% 基期=A-0.3A r<43% 基期=A0.7+ r>43% 基期=A0.7-

代入法

选项很接近，增长率绝对值很小的情况，观察选项带入计算。

比如现期12425，增长率是2.64%，选项分别是11715、12105、12762、13227

首先可排除后两个选项因为是增长的基期一定比现期小。观察第一第二个选项，可以假设基期为12000，那么增长量差不多就是120*2.6≈300，这样假设出来的基期都还小于12425，所以真实值肯定比这个假设值还大一点，所以选择第二个选项。

还可以考虑的是，选项与现期做差，观察这个差值和增长率的关系。

区间思维

比如百化分遇到一个百分数在表中的两个百分数之间，直接带入百化分会有误差，那么就可以把区间两端的百分数分别大概估算一下，然后就可以得到答案所在区间了。

例子： 现期6918，增长率9.6%，求增长量。

首先9.6%在9.09%（1/11）和10%（1/10）之间，所以根据百化分的公式可得，增长量的区间为6918（1/12）与6918（1/11）之间，那么大概就是580~620之间。

差分法

用在比较大小上面，和计算盐水浓度的方法是一样的。

若存在分数a/b与c/d，把分子分母分别相减形成一个新的小数(a-c)/(b-c)，与被减数那个分数(c/d)进行比较，如果大于这个分数的话，那么作为减数的分数(a/b)就大于被减数的分数(c/d)。

比如要计算两个分数的大小132/3545与141/3677。就可以使用差分法来做比较。

$$\frac{141-132}{3677-3545}=\frac{9}{132}$$

与132/3545进行对比，132/3545≈0.3+%，9/132≈7%，所以141/3677>132/3545

乘法分配率

根据复合增长率的计算，可以推导出适合一般乘法的乘法分配率快速计算乘法和除法。

比如计算乘法$1.22\ast 1.33$

$$0.22+0.33+0.22\ast 0.33=0.55+0.06+=0.61+$$

计算除法$1.86/1.33$

$$0.33+x+0.33x=0.86$$$$x\approx 0.4$$